铁木真和忽必烈之间的关系是爷孙。铁木真是成吉思汗，大蒙古国的创立者和第一位可汗。忽必烈则是铁木真的孙子，是他的第四子托雷的第四个儿子。尽管不是嫡长孙，忽必烈最终继承了蒙古汗位，成为第五位可汗。他在位时建立了元朝，并灭亡了南宋，成为元朝的开国皇帝，为国家的疆域奠定和民族经济文化交流做出了贡献。