在极限理论方面,魏尔斯特拉斯反对“让一个变量趋于一个常量”这种模糊不清的说法,而改用现在通用的“ε-δ”语言来描述极限,使极限理论严格化,进而可以用类似的手段严格定义函数的连续性,魏尔斯特拉斯还提出了“有界数列必存在收敛子列”这一实数系基本定理,加深了人们对实数系的认识,柯西没有给出基本序列一定收敛的证明就是因为他不清楚实数系的构造,用这个定理可以很容易证明柯西收敛准则的充分性.在微分领域,魏尔斯特拉斯给出一个处处连续函数却处处不可导的函数的例子,从而更正了前人认为“连续函数只能在个别点不可导”的错误认识,使人们对连续和可微的关系有了更深的理解.在无穷级数领域,前人很随意地使用一些发散的级数,导致某些谬误的出现,魏尔斯特拉斯严格表述了一致收敛的概念,并给出级数逐项积分和逐项求导的条件,从而使级数的使用严密化.