我们接下来研究在某一区间内连续的函数的基本性质。这些性质是很有趣的，而且在以后的叙述中，经常要用它们作为各种论断的根据。

1. Bolnazo-Cauchy第一零点定理

1.1 定理

设函数[公式] , 若 [公式] , 则 [公式] 。

几何意义: 连续曲线从 [公式] 轴的下方到上方必然与轴相交。

1.2 证法一: 含找零点算法

这种方法不仅证明零点存在，而且提供了一种可以求零点的理论方法。

1.3 证法二: 仅证存在性

下面给出另外一种理念的证明，这种方法仅从理论上证明这样的零点存在，并不给出任何如何求这样零点的建议。实用的是确界存在定理。

1.4 补充: 连续条件非常重要

零点定理中的连续条件非常重要，如果忽略掉这个条件，那么定理结论就未必成立了。

1.5 应用: 解方程

上面的零点定理，有一个很重要的应用就是解方程，求解方程的近似解，或者运气比较好得到精确解。

1.6 小结

对上面两种证法做个总结。第二种方法仅仅证明[公式] 根的存在性问题，并没有说明如何求解根。

2. 介值定理

这个定理是属于Bolzano-Cauchy第二定理。

2.1 定理

[公式] , 若 [公式] , 则 [公式] (有向区间)。

2.2 证明

我们不妨假设[公式] , 于是就有 [公式] ,

我们可以在区间[公式] 构造辅助函数 [公式] , 则这个函数在该区间连续。

2.3 说明

介值定理的意义: 说明了连续函数在两个函数值之间变化时必然经过每一个中间值一次，这就与介值这个名副其实。

2.4 单调函数逆命题

在单调函数的情况下，我们可以通过这个性质反过来推得函数的连续性: 单调函数若在某个区间[公式] 的值域充满某个区间 [公式] , 则这个函数在该区间 [公式] 连续。

3. 反函数的存在

下面我们应用前面介绍的性质来解决反函数在什么条件下为单值且连续的问题。

3.1 单调连续函数存在单值反函数

设函数[公式] , 单调函数， [公式] , 则存在 [公式] 单值反函数，连续且单调，单调性与 [公式] 同。

3.2 证明: 反函数存在性

只证明单调增的情形。

3.3 证明: 单调性

下面看[公式] 的单调性，它与 [公式] 相似，也是单调增的:

3.4 证明: 连续性

连续性，我们只需要引用单调函数连续性定理即可得证。

3.5 几何说明

对照图结合前面内容介绍很容易对照起来。

3.6 举例说明

注意: 这里前面几个例子不要用已经知道的反函数来论证，否则就循环论证了。用我们这里的反函数存在定理来论证。

4. 有界性定理

4.1 说明

如果函数[公式] 在某一有限区间内一切 [公式] 的数值都有定义，单我们并不能由此推出函数必定有界，即函数值所组成的集合 [公式] 的有界性。

4.2 Weierstrass第一定理

闭区间连续函数必有界: 若 [公式] ， 则 [公式] 。

4.3 证明

反证法，假设[公式] 在 [公式] 变动时无界，也就是说:

4.2 Weierstrass第一定理

闭区间连续函数必有界: 若 [公式] ， 则 [公式] 。

4.3 证明

反证法，假设[公式] 在 [公式] 变动时无界，也就是说:

5. 最大值与最小值

前面，我们已经知道，对于无穷数集，即使有界的，其中也可能没有最大的(最小的)元素。

5.1 Weierstrass第二定理

[公式] , 则该函数在区间 [公式] 必能达到自己的上下确界。

5.2 证明(一)

这里只证明最大值，最小值类同。

5.3 证明(二)

这里利用Weierstrass引理出发，也就是有界序列必要收敛子列。同样只证明最大值的情况。

5.4 振幅

振幅: [公式] 称为有界函数 [公式] 的振幅。